3.445 \(\int \sqrt{x} (a+b x)^3 \, dx\)
Optimal. Leaf size=51 \[ \frac{2}{3} a^3 x^{3/2}+\frac{6}{5} a^2 b x^{5/2}+\frac{6}{7} a b^2 x^{7/2}+\frac{2}{9} b^3 x^{9/2} \]
[Out]
(2*a^3*x^(3/2))/3 + (6*a^2*b*x^(5/2))/5 + (6*a*b^2*x^(7/2))/7 + (2*b^3*x^(9/2))/
9
_______________________________________________________________________________________
Rubi [A] time = 0.0297821, antiderivative size = 51, normalized size of antiderivative = 1.,
number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 13, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.077
\[ \frac{2}{3} a^3 x^{3/2}+\frac{6}{5} a^2 b x^{5/2}+\frac{6}{7} a b^2 x^{7/2}+\frac{2}{9} b^3 x^{9/2} \]
Antiderivative was successfully verified.
[In] Int[Sqrt[x]*(a + b*x)^3,x]
[Out]
(2*a^3*x^(3/2))/3 + (6*a^2*b*x^(5/2))/5 + (6*a*b^2*x^(7/2))/7 + (2*b^3*x^(9/2))/
9
_______________________________________________________________________________________
Rubi in Sympy [A] time = 5.19748, size = 49, normalized size = 0.96 \[ \frac{2 a^{3} x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{6 a^{2} b x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{6 a b^{2} x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 b^{3} x^{\frac{9}{2}}}{9} \]
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In] rubi_integrate((b*x+a)**3*x**(1/2),x)
[Out]
2*a**3*x**(3/2)/3 + 6*a**2*b*x**(5/2)/5 + 6*a*b**2*x**(7/2)/7 + 2*b**3*x**(9/2)/
9
_______________________________________________________________________________________
Mathematica [A] time = 0.010714, size = 39, normalized size = 0.76 \[ \frac{2}{315} x^{3/2} \left (105 a^3+189 a^2 b x+135 a b^2 x^2+35 b^3 x^3\right ) \]
Antiderivative was successfully verified.
[In] Integrate[Sqrt[x]*(a + b*x)^3,x]
[Out]
(2*x^(3/2)*(105*a^3 + 189*a^2*b*x + 135*a*b^2*x^2 + 35*b^3*x^3))/315
_______________________________________________________________________________________
Maple [A] time = 0.007, size = 36, normalized size = 0.7 \[{\frac{70\,{b}^{3}{x}^{3}+270\,a{b}^{2}{x}^{2}+378\,{a}^{2}bx+210\,{a}^{3}}{315}{x}^{{\frac{3}{2}}}} \]
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In] int((b*x+a)^3*x^(1/2),x)
[Out]
2/315*x^(3/2)*(35*b^3*x^3+135*a*b^2*x^2+189*a^2*b*x+105*a^3)
_______________________________________________________________________________________
Maxima [A] time = 1.34857, size = 47, normalized size = 0.92 \[ \frac{2}{9} \, b^{3} x^{\frac{9}{2}} + \frac{6}{7} \, a b^{2} x^{\frac{7}{2}} + \frac{6}{5} \, a^{2} b x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \, a^{3} x^{\frac{3}{2}} \]
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In] integrate((b*x + a)^3*sqrt(x),x, algorithm="maxima")
[Out]
2/9*b^3*x^(9/2) + 6/7*a*b^2*x^(7/2) + 6/5*a^2*b*x^(5/2) + 2/3*a^3*x^(3/2)
_______________________________________________________________________________________
Fricas [A] time = 0.206178, size = 51, normalized size = 1. \[ \frac{2}{315} \,{\left (35 \, b^{3} x^{4} + 135 \, a b^{2} x^{3} + 189 \, a^{2} b x^{2} + 105 \, a^{3} x\right )} \sqrt{x} \]
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In] integrate((b*x + a)^3*sqrt(x),x, algorithm="fricas")
[Out]
2/315*(35*b^3*x^4 + 135*a*b^2*x^3 + 189*a^2*b*x^2 + 105*a^3*x)*sqrt(x)
_______________________________________________________________________________________
Sympy [A] time = 9.47301, size = 4884, normalized size = 95.76 \[ \text{result too large to display} \]
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In] integrate((b*x+a)**3*x**(1/2),x)
[Out]
Piecewise((-32*a**(49/2)*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**
19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(
a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)
**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 32*I*a**(49/2)/(315*a**20*b**(3/2) - 1
890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**
(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a
/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 176*a**(47/2)*b*sqrt(-1 + b*(a/
b + x)/a)*(a/b + x)/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a
**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(1
1/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b
+ x)**6) - 192*I*a**(47/2)*b*(a/b + x)/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2
)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**
3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*
a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 396*a**(45/2)*b**2*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b
+ x)**2/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/
2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b +
x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) +
480*I*a**(45/2)*b**2*(a/b + x)**2/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/
b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4
725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14
*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 462*a**(43/2)*b**3*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)
**3/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a
/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**
4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 640*
I*a**(43/2)*b**3*(a/b + x)**3/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x
) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a
**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(
15/2)*(a/b + x)**6) - 210*a**(41/2)*b**4*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**4/(
315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b +
x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1
890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 480*I*a**
(41/2)*b**4*(a/b + x)**4/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4
725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*
b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)
*(a/b + x)**6) - 378*a**(39/2)*b**5*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**5/(315*a
**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2
- 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a
**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 192*I*a**(39/2
)*b**5*(a/b + x)**5/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a
**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(1
1/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b
+ x)**6) + 1134*a**(37/2)*b**6*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**6/(315*a**20
*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6
300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15
*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 32*I*a**(37/2)*b**
6*(a/b + x)**6/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*
b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*
(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)
**6) - 1494*a**(35/2)*b**7*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**7/(315*a**20*b**(
3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a
**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(
13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 1098*a**(33/2)*b**8*sqr
t(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**8/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/
b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4
725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14
*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 430*a**(31/2)*b**9*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)
**9/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a
/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**
4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 70*a
**(29/2)*b**10*sqrt(-1 + b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**10/(315*a**20*b**(3/2) - 1890
*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/
2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b
+ x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6), Abs(b*(a/b + x)/a) > 1), (-32*I*a**
(49/2)*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b +
x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*
a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**
(15/2)*(a/b + x)**6) + 32*I*a**(49/2)/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*
(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3
+ 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a*
*14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 176*I*a**(47/2)*b*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x
)/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b
+ x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4
- 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 192*I*
a**(47/2)*b*(a/b + x)/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725
*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**
(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a
/b + x)**6) - 396*I*a**(45/2)*b**2*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**2/(315*a**
20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 -
6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**
15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 480*I*a**(45/2)*
b**2*(a/b + x)**2/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**
18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/
2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b +
x)**6) + 462*I*a**(43/2)*b**3*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**3/(315*a**20*b
**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 630
0*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b
**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 640*I*a**(43/2)*b**3
*(a/b + x)**3/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b
**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(
a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)*
*6) - 210*I*a**(41/2)*b**4*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**4/(315*a**20*b**(3
/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a*
*17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(1
3/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 480*I*a**(41/2)*b**4*(a/
b + x)**4/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7
/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b
+ x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6)
- 378*I*a**(39/2)*b**5*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**5/(315*a**20*b**(3/2)
- 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*
b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)
*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 192*I*a**(39/2)*b**5*(a/b +
x)**5/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*
(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)
**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 11
34*I*a**(37/2)*b**6*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**6/(315*a**20*b**(3/2) - 1
890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**
(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a
/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 32*I*a**(37/2)*b**6*(a/b + x)**
6/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b
+ x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4
- 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) - 1494*I
*a**(35/2)*b**7*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**7/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*
a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2
)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b +
x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 1098*I*a**(33/2)*b**8*sqrt(1 - b*(a
/b + x)/a)*(a/b + x)**8/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 47
25*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b
**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*
(a/b + x)**6) - 430*I*a**(31/2)*b**9*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**9/(315*a
**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b**(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2
- 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b + x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a
**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 + 315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6) + 70*I*a**(29/2)
*b**10*sqrt(1 - b*(a/b + x)/a)*(a/b + x)**10/(315*a**20*b**(3/2) - 1890*a**19*b*
*(5/2)*(a/b + x) + 4725*a**18*b**(7/2)*(a/b + x)**2 - 6300*a**17*b**(9/2)*(a/b +
x)**3 + 4725*a**16*b**(11/2)*(a/b + x)**4 - 1890*a**15*b**(13/2)*(a/b + x)**5 +
315*a**14*b**(15/2)*(a/b + x)**6), True))
_______________________________________________________________________________________
GIAC/XCAS [A] time = 0.202835, size = 47, normalized size = 0.92 \[ \frac{2}{9} \, b^{3} x^{\frac{9}{2}} + \frac{6}{7} \, a b^{2} x^{\frac{7}{2}} + \frac{6}{5} \, a^{2} b x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \, a^{3} x^{\frac{3}{2}} \]
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In] integrate((b*x + a)^3*sqrt(x),x, algorithm="giac")
[Out]
2/9*b^3*x^(9/2) + 6/7*a*b^2*x^(7/2) + 6/5*a^2*b*x^(5/2) + 2/3*a^3*x^(3/2)